Title: ΘΕΜΑ 1ο
Author: Β
Last saved by: ks

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ 
ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ∆ΑΣ Β΄) 
ΤΡΙΤΗ 25 MAΪΟΥ 2010 
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ 
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: 
 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) 
 ΘΕΜΑ Α 
Α1.	Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι                    παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0, τότε είναι και συνεχής              στο σημείο αυτό.  
Μονάδες 10 
Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα ∆ του πεδίου ορισμού της; 
Μονάδες 5 
Α3. Για καθεμιά από τις επόμενες πέντε (5) προτάσεις, α.                  έως ε., να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της και ακριβώς δίπλα την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι             Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασμένη. 
α. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο            Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής           παράστασης C_f της συνάρτησης.  
β.  Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα       
   ∆ και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι:  
, για κάθε x ∈ ∆. 
γ.  Αν z_1, z_2  μιγαδικοί αριθμοί με z_2≠0, τότε ισχύει ότι: 

     δ.  Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με                              
         πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α, β] είναι το  
         κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και Μ η  
         μέγιστη τιμή της. 
 ε.  Αν  τότε f(x)<0 κοντά στο x_0.
Μονάδες 10 
ΘΕΜΑ Β 
Έστω ο μιγαδικός αριθμός με .
	
B1.	Αν ισχύει ότι, τότε να βρείτε τον μιγαδικό             αριθμό z. 
Μονάδες 8 
B2.	Αν , τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των           εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους                          ισχύει ότι: .
	Μονάδες 7 
B3.  Αν και ,  τότε να αποδείξετε ότι: . 
Μονάδες 10 
ΘΕΜΑ Γ 
Δίνεται η συνάρτηση .
	
Γ1.	Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως                   αύξουσα στο.
Μονάδες 5 
Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία            ρίζα στο διάστημα (0,π). 
Μονάδες 10 
Γ3.  Να λύσετε την εξίσωση:  
	Μονάδες 5 
Γ4. Να βρείτε το όριο:  
	Μονάδες 5 
 ΘΕΜΑ ∆  
Δίνεται η συνάρτηση.  Να βρείτε:
∆1.  Τα τοπικά ακρότατα της f. 
Μονάδες 8 
∆2.  Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. 
Μονάδες 8 
∆3. Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης          της f στο σημείο Α(1, f(1)). 
Μονάδες 4 
∆4. Το σημείο Μ(ξ, f(ξ)), ξ>0, της γραφικής παράστασης C_f     της f, στο οποίο η εφαπτομένη της C_f  είναι παράλληλη      προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(1, f(1)), B(3, f(3)). 
Μονάδες 5 
 
Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 
 
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα             θέματα στο τετράδιο. 
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν              επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό διαρκείας και μόνο ανεξίτηλης μελάνης. 
5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 
6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 
7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μία (1) ώρα μετά τη διανομή των θεμάτων.  
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ  
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ